Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por Pitágoras de Samos (582 adC - 507 adC) y es uno de los más conocidos y estudiados en todo el mundo. Establece lo siguiente:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

Formalmente, si un triángulo tiene catetos de tamaño a y b, entonces el valor c de la hipotenusa está determinado por:

$a^2 + b^2 = c^2 ,$

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

$a^2 + b^2 = c^2,$

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de a - b

El área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ,$

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los 4 triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

$c^2 = 4 cdot left( frac{a cdot b}{2} right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2$

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras [editar]

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se cree que Pitágoras demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[2]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen 2 bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC

$frac {b}{b'}=frac {c}{b}$ =

$b^2 = b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC

$frac {a}{a'}=frac {c}{a}$

$a^2 = a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

$a^2 + b^2 =a'c + b'c = cleft (a'+b'right )$

pero $left (a'+b'right )= c$ , por lo que finalmente resulta

$a^2 + b^2 =c^2$

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que

$frac {r}{u}=frac {s}{v} = r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos.

Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{PQR} = frac {1}{2} left ( rs right )$

$S_{PST} = frac {1}{2} left ( uv right )$

obtenemos después de simplificar que

$frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=frac {rs}{uv} = frac {r}{u} cdot frac {s}{v}$

pero siendo $frac {r}{u}=frac {s}{v} = r$ la razón de semejanza, está claro que

$frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= left (frac {r}{u} right )^2 = left ( frac {s}{v} right ) ^2$

es decir, la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que

$frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= left (frac {b}{a} right )^2$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da

$frac {S_{ACH}} {b^2} = frac {S_{BCH}} {a^2} = frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que

$frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= left (frac {b}{c} right )^2$

$frac {S_{ACH}}{b^2} = frac {S_{ABC}} {c^2}$

pero según (I) $frac {S_{ACH}} {b^2} = frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ , así que

$frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = frac {S_{ABC}} {c^2}$

y por lo tanto

$b^2 + a^2 = c^2$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de Pitágoras

Demostraciones supuestas de Pitágoras [editar]